近日，上海数学与交叉学科研究院林华新教授与华东师范大学王航教授合作完成的论文“Approximately Macroscopically Unique States and Quantum Mechanics” 在国际数学物理期刊 Communications in Mathematical Physics（CMP）发表。该研究围绕量子系统中宏观近似确定态的存在性及其与非交换结构的关系，取得了新的数学进展。
一、一场大会报告引出的数学疑问
2023年7月17日，北京，首届国际基础科学大会。数学家 David Mumford 作题为“Consciousness, Robots, and DNA” 的开幕大会报告。Mumford 开场时提醒听众，这场报告不会讲数学。然而，当话题从意识、机器人延伸到 DNA 与量子测量，临近报告结束时，一个关于 C* 代数的问题出现了：几乎交换的自伴算子，在什么条件下能够被真正交换的自伴算子逼近？[1, 2]
这个抽象问题，连接着一个十分直观的关键：量子理论允许叠加与不确定性，而在日常生活的精度下，我们通常能够确定一件物体在哪里、正在怎样运动。如何在量子理论的数学框架中，描述这种宏观上的近似确定性？在报告中，Mumford 从量子测量谈到微观事件如何被放大为人们能够观察的结果，并把这一问题与 DNA 复制联系起来。[1]
为讨论这样的状态，Mumford 提出了“近似宏观唯一态”（Approximately Macroscopically Unique states，简称 AMU 态）。对于选定的一组观测量，如果某个量子态使各项测量结果的标准差都小于给定的容许误差，就称其为相应的 AMU 态。这样的状态是否存在，成为一个可以严格研究的数学问题。[3]
二、算子理论视角下的线索与障碍
这场报告背后，还有一段与菲尔兹奖得主 Alain Connes 的学术交流。Mumford 曾向 Connes 请教：对观测量施加一个变化受控的函数后，原本较小的交换子是否仍能得到相应控制？Connes 指出，在算子理论中，这样的估计并不总是成立，他指出了一个反例。并且关于几乎交换的算子能否被真正交换的算子逼近，Halmos的相关研究也揭示了无限维算子理论中的障碍。这些结果表明，算子的近似交换性与整体交换逼近之间存在微妙的数学差异，但相关反例主要来自抽象算子理论，并非直接取自具体的物理观测量。[4]
量子力学中一个最基本的例子是位置与动量。经典力学中，粒子的位置和动量可以同时具有确定的数值；而在量子力学中，考虑一维空间中的粒子，其量子态由 Hilbert 空间中的波函数描述。位置算子 (Q) 与动量算子分别定义为
这里，是约化普朗克常数，两个算子均为无界自伴算子。在适当的公共定义域上，它们满足著名的正则对易关系
这一关系是海森堡不确定性原理的数学基础，表明位置与动量不能同时具有任意小的测量不确定度。在半经典极限下，交换子的算子范数趋于零，这与量子力学在适当意义下趋近经典力学的认识相呼应。然而，位置与动量本身都是无界算子，超出了有界算子理论的直接适用范围。交换子的趋近于零是否意味着整个系统能够被交换算子逼近，也成为一个值得研究的数学问题。[5]
Mumford 探索的一条思路，是先找到与原观测量接近、彼此真正交换的一组算子，再借助交换系统的结构寻找所需的状态。这条思路也与林华新教授早年的研究相连：Mumford 的书稿已经介绍过林华新教授关于两个几乎交换自伴矩阵的经典结果。不过，进入无限维空间后，整体交换逼近会遇到实质性的障碍。[2, 4]
围绕这一问题，林华新教授还进一步研究了无限维空间中交换逼近成立的条件，利用合成谱等工具刻画能够实现逼近的情形，并通过反例揭示其中的限制。[2]
三、AMU 态：不依赖整体交换逼近的存在性
林华新教授的后续研究，把焦点进一步放回 Mumford 最初关心的问题：即使整个系统不能被附近的交换系统代替，所需要的 AMU 态是否仍然存在？
他给出了肯定回答。在有界自伴算子的框架下，对于范数受到统一控制的算子组，只要交换子足够小，就可以找到使多个观测量同时具有较小波动的状态，而这一结论不要求原算子组能够被真正交换的算子组逼近。这项工作直接回应了 Mumford 对宏观近似确定态的关切。[3]
四、最新合作成果：一正一反两个核心定理
在最新合作研究中，林华新教授与王航教授取得了两个主要结果。首先是一个肯定性结果。 量子力学中的位置、动量等基本物理观测量通常由无界算子描述。他们证明，对于满足适当条件的无界自伴算子，只要交换子足够小，就一定存在 AMU 态。特别地，对于最基本的位置—动量系统，当半经典参数足够小时，AMU 态确实存在。这从数学上肯定地回答了这一重要量子力学模型中宏观近似确定态的存在性问题。[5]
其次是一个否定性结果。 物理学中通常认为，在半经典极限下，量子力学会逐渐呈现经典力学的特征。然而，林华新教授与王航教授证明，恰恰对于量子力学中最自然的位置—动量系统，即使交换子随着半经典参数趋于零，整个系统仍不能被彼此交换的算子逼近。其背后存在一个深刻的拓扑障碍：位置—动量系统与交换算子系统所对应的拓扑不变量存在本质差异。这种差异不会随着半经典参数趋于零而消失，使两类系统在论文所研究的算子逼近意义下的距离具有正下界。[5]
这两个结果揭示了量子力学与经典力学之间在数学上有本质区别：一方面，量子系统确实能够呈现宏观上的近似确定性；另一方面，第一次发现即使在经典的位置—动量物理例子中，量子系统与经典交换系统之间仍有数学上不可逾越的鸿沟。
从一次跨越意识、生命与量子理论的报告，到关于算子和状态的严格定理，这组研究逐步厘清了两个问题之间的关系：量子系统中何时存在宏观近似确定的状态，以及何时能够用交换系统整体逼近它。这样的区分，为讨论量子与经典之间的联系提供了更精确的数学语言。
参考文献：
[1] D. Mumford, Consciousness, Robots, and DNA, 2024.
https://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog/2024/Cons.html
[2] H. Lin, Almost commuting self-adjoint operators and measurements, Can. Math. Commun. 1 (2026), e3, 1–47.
https://doi.org/10.4153/S2976859426100022
[3] H. Lin, Existence of approximately macroscopically unique states, Commun. Math. Phys. 406 (2025), Article 38.
https://doi.org/10.1007/s00220-024-05218-w
[4] D. Mumford, Numbers and the World: Essays on Math and Beyond, American Mathematical Society, 2023, Chapter 14, “Quantum Theory and the Mysterious Collapse”.
Prepublication draft (2022): https://www.dam.brown.edu/people/mumford/BlogBook2.pdf
[5] H. Lin, H. Wang, Approximately macroscopically unique states and quantum mechanics, Commun. Math. Phys. 407, 249 (2026). https://doi.org/10.1007/s00220-026-05767-2